lunes, 15 de junio de 2015
Geometría
Los
antiguos Egipcios dependían
exclusivamente de las aguas del río Nilo
para efectuar sus trabajos agrícolas. El Nilo se
desbordaba año tras año, inundando grandes extensiones de tierra, la cual
quedaba así apta para los cultivos. En las riveras del río se medían y se
distribuían las distintas parcelas para ser asignadas
a los agricultores. Este proceso debía repetirse año tras año, pues cada inundación
borraba las medidas del año anterior.
Así
poco a poco, se fue perfeccionando la técnica de parcelas y nació la GEOMETRÍA,
que etimológicamente significa medición
de tierras. Los Egipcios pues crearon la
GEOMETRÍA y la desarrollaron a tal grado que aun hoy tenemos como mudos
testigos de ese desarrollo a las grandiosas pirámides de Egipto, cuya
antigüedad supera los 5.000 años
La observación de la naturaleza nos muestra
la existencia de variadas formas geométricas
en los cuerpos materiales que la componen y nos proporciona la idea de volumen, superficie, línea, y punto. Por necesidades prácticas, el
desarrollo de técnicas usadas para medir,
construir o desplazarse, llevaron
al hombre a hacer uso de las diversas propiedades de las figuras geométricas.
En sus orígenes la geometría era un cuerpo de conocimientos prácticos
sobre la obtención de las propiedades de los cuerpos geométricos que se podía
aplicar a la cartografía, a la construcción y la astronomía. Según los Griegos, en Egipto estaba muy desarrollada, cosa que demuestra la impresionante
arquitectura de la época que sin un cuerpo de conocimientos robusto en geometría no
hubieran sido posibles.
Euclides sistematiza ese cuerpo de conocimientos en forma de axiomas que fueron utilizados durante
siglos y que se conocen como la geometría euclidiana. Durante la edad media existe
una ausencia de nuevos conocimientos pero los aportes no se detienen allí, los árabes realizan los suyos propios y
resultan los depositarios de estos conocimientos conservando versiones en árabe
de los libros escritos por los griegos, siendo de esta manera que en el
renacimiento, primero por versiones árabes, luego por versiones directas, contribuyen
al renacer del conocimiento científico. Descartes
es quien permite establecer que las figuras geométricas pueden representarse
como ecuaciones o mejor como funciones, dando origen a la rama de la
geometría analítica.
El término
geometría viene del griego “geos” que
quiere decir tierra y “metrica” que
significa medir, por la tanto la palabra geometría significa medir la tierra etimológicamente.
La geometría es una rama de la matemática que se dedica al
estudio de las figuras que una persona puede realizar en el plano y el espacio. El cálculo, el análisis matemático y las ecuaciones
diferenciales tienen su principio en la geometría. De allí sus aplicaciones en
química, física, astronomía y otras
ciencias. Las figuras
geométricas más elementales son el
punto, la línea y el plano. Mediante
transformaciones y desplazamientos
de
sus componentes
generan diversas líneas, superficies y
volúmenes, que son objeto de estudio en matemáticas.
La geometría es una parte de la matemática
que trata de estudiar unas idealizaciones del espacio en que vivimos, estas
idealizaciones son los puntos, las rectas y los
planos, y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como polígonos o poliedros.
En la práctica, la geometría sirve para solucionar problemas concretos
en el mundo de lo visible. Entre sus utilidades se encuentran la justificación
teórica de muchos instrumentos como
el compás, teodolito, pantógrafo,
sistema de posicionamiento global. También es la que nos permite medir áreas y volúmenes, es útil en la preparación de diseños, e incluso en la
fabricación de artesanías.
La geometría
clásica o axiomática es una
matemática donde los objetos, en vez de
ser números, son puntos, rectas, planos
y otras figuras definidas en función
de estas.
La
necesidad de la enseñanza de la geometría en el ámbito escolar responde, en
primer lugar, al papel que la geometría desempeña en la vida cotidiana.
Un conocimiento geométrico básico es indispensable para desenvolverse en la vida cotidiana, para orientarse reflexivamente en el espacio; para hacer estimaciones sobre formas y distancias; para hacer apreciaciones y cálculos relativos a la distribución de los objetos en el espacio.
Un conocimiento geométrico básico es indispensable para desenvolverse en la vida cotidiana, para orientarse reflexivamente en el espacio; para hacer estimaciones sobre formas y distancias; para hacer apreciaciones y cálculos relativos a la distribución de los objetos en el espacio.
La geometría está presente en
múltiples ámbitos del sistema productivo de nuestras actuales sociedades
(producción industrial, diseño, arquitectura, topografía), entre otros.
La forma geométrica es también un
componente esencial del arte, de las artes plásticas, y representa un aspecto
importante en el estudio de los elementos de la naturaleza.
Conceptos
fundamentales de geometría
El punto es la representación del corte de
dos rectas, de un lugar en el espacio bidimensional o tridimensional, se
considera como un objeto básico porque a partir de el se generan otras figuras.
No tiene dimensiones. El Punto se
representa por un pequeño círculo y se nombra por una letra mayúscula. El punto es el elemento base de la geometría, porque
con él determinamos las líneas, las rectas y los planos. Podemos definirlo también como la intercesión de dos líneas,
sirve para indicar una posición.
La línea es una sucesión infinita de puntos. Las líneas se
clasifican básicamente en:
· Líneas rectas
· Línea poligonal o quebrada
· Líneas curvas
Una recta es una sucesión ininterrumpida
de puntos. La recta propiamente dicha se caracteriza por que los puntos que la
forman están en sentido colineal, un
sentido a la izquierda y un sentido a la derecha. No se puede medir.
Se representa por una flecha de doble sentido y se nombra por dos letras mayúsculas o una
letra minúscula sobre los cuales se coloca una flecha de doble sentido.
Es aquella línea que tiene origen pero no tiene fin, tiene sólo un sentido, y no se puede medir, es
decir que su longitud es infinita. Se representa por
una flecha de un solo sentido y se nombra por dos
letras mayúsculas sobre las cuales se coloca una flecha.
Un segmento de recta es una línea que tiene principio y fin, por lo tanto un segmento se puede medir. En otras palabras el segmento de recta es un pedazo de la línea
recta. Se representa por una línea y se nombra por dos letras mayúsculas sobre las cuales se coloca la línea.
Se llama línea poligonal a aquella que está formada por varias porciones de rectas que están unas
a continuación de otras, pero no están alineadas, la línea poligonal puede ser abierta (cuando ningún extremo se une)
o cerrada (cuando el primer extremo se une con el ultimo). La
línea poligonal cerrada forma una figura plana que se llama polígono.
Una curva está formada por puntos que están en
distinta dirección. Puede ser una curva abierta, los extremos no
se unen, una curva cerrada, cuyos extremos se unen y una curva
mixta, formada por líneas rectas y curvas unidas. Por ejemplo:
Un plano es una superficie que se extiende indefinidamente, podemos
decir que es el conjunto de puntos que
forman un espacio de dos dimensiones. Por
ejemplo un campo de football es un plano. La representación de planos se
puede dar por medio de figuras geométricas.
viernes, 12 de junio de 2015
Polígonos
Es aquel polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus
vértices están circunscritos en
una circunferencia. Se clasifican en:
·
Pentágono regular: polígono regular de 5
· Octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente.
Los polígonos de n lados se llaman por el nombre de la
cantidad de lados, así, el polígono de
22 lados se llama “polígono de veintidós lados “. Las características
principales de los polígonos
regulares son:
· Tener lados y ángulos
iguales.
·
Ser una línea poligonal
cerrada.
·
La suma de los ángulos
exteriores miden 4 ángulos rectos.
Es aquel
polígono en el cual sus lados no son de
igual longitud y/o sus vértices
no están contenidos en una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados,
se denominan:
· Triángulos: Isósceles y escaleno.
· Cuadriláteros: Rectángulo, rombo, romboide, trapecio,
trapezoide y cuadriláteros irregulares
· Poligonales: Figuras de más de cinco
lados desiguales.
La diagonal es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos. Por ejemplo observa los siguientes polígonos:
Los ángulos
Un ángulo se define como la abertura
formada por dos semirrectas con un mismo origen, éste
origen común se llamará vértice.
También podemos decir que es la porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de
origen común.
Para obtener la medida de un ángulo, se divide el círculo en 360 partes iguales (Grados),
cada parte equivale a un grado. Así, un círculo
completo representa un ángulo de 360°
que llamaremos ángulo completo, la mitad de ese círculo tiene
180°, que llamaremos ángulo llano. Un cuarto del círculo tendrá un
ángulo de 90° conocido como ángulo recto.
Los ángulos se clasifican según su abertura y
según su posición.
Según su abertura,
los ángulos se clasifican en:
jueves, 11 de junio de 2015
La medición
La medición se utiliza en diferentes
campos: Longitud, temperatura,
el volumen, la masa, el tiempo, entre otros. Para todas estas unidades existen diferentes aparatos que nos permiten hallar con
exactitud lo que deseamos saber. Podemos
decir entonces que medir es comparar una cantidad
con su respectiva unidad, con el fin
de averiguar cuántas veces la segunda está contenida en la primera.
Se
conocen algunos sistemas convencionales para establecer las unidades de medida:
El Sistema Internacional y el Sistema Inglés.
Cuando medimos algo se debe hacer con gran
cuidado, para evitar alterar el sistema que observamos. Por otro lado, no hemos
de perder de vista que las medidas se realizan con algún tipo de error, debido
a imperfecciones del instrumento o a
limitaciones del medidor, errores experimentales, por eso, se ha de
realizar la medida de forma que la alteración producida sea mucho menor que el
error experimental que se pueda cometer. Al resultado de medir lo llamamos Medida.
Actualmente para medir longitudes se utiliza el metro y sus
divisores. Sin embargo, hace tan sólo 200 años, la palabra metro no tenía ningún significado.
La forma de
definir y medir una longitud ha cambiado a través de la
historia:
Las primeras referencias utilizadas fueron partes del cuerpo humano;
posteriormente, para medir se utilizaban otras unidades como la vara, que tenían longitudes diferentes
según el lugar geográfico. Debido a esta falta de uniformidad, gobiernos y
monarquías de diferentes países efectuaron varios intentos de unificación. El 19 de marzo de 1791, la Academia de
Ciencias de París propuso la adopción de un patrón procedente de la
naturaleza: el metro. La unidad fundamental en la longitud
es el metro, el cual lo podemos definir como una unidad de medida
del Sistema
Internacional. Al principio, esta
unidad de longitud fue creada a instancias de la Academia de Ciencias Francesa en el año 1791 y definida
oportunamente como la diezmillonésima
parte de la
En la siguiente
tabla se puede observar la relación de equivalencia entre el metro, sus múltiplos y submúltiplos. El sistema métrico
tiene prefijos modificadores que son múltiplos de 10.
La
tabla anterior nos
muestra los múltiplos y submúltiplos del metro (Unidad de longitud), de la misma forma podemos construir una tabla
con otras unidades.
Si trabajamos con las unidades del metro, podemos obtener las siguientes
equivalencias:
·
1 metro = 10
dm =
100 cm = 1000 mm
Lo anterior lo podemos comprobar en la
tabla agregando ceros a la derecha a
medida que nos movemos, otra forma de
saber las equivalencias es agregando ceros cuantos espacios nos movamos
hacia la derecha o izquierda.
· 1 Mm = 10 Km
= 100 Hm = 1000
Dm =
10000 m = 100000 dm
1 Mm = 1000000 cm
= 10000000 mm.
Como los números son muy grandes, lo mejor es expresarlos en potencias de 10; esto se logra contando el número de espacios
(ceros), luego se coloca este número como exponente,
la base siempre es 10.
miércoles, 10 de junio de 2015
Perímetros y áreas
El perímetro de una figura plana
es igual a la suma de las longitudes
de sus lados. Para
conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y
sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados
iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su
perímetro.
El perímetro
y el área son magnitudes fundamentales en la determinación de un polígono o de una figura geométrica; el
perímetro se utiliza también para calcular la frontera de un objeto, tal como una valla. El área se utiliza cuando queremos obtener
la superficie interior de un perímetro que
se desea cubrir con algo, como por
ejemplo un césped.
Dadas las siguientes figuras, halle el perímetro de cada una de ellas.
Área del triángulo
El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos
siempre es 180 grados. Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula matemática:
Área = (Base x altura)
2
El cuadrado es un polígono de cuatro lados, con la particularidad de que todos ellos son iguales. Además sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.
El área de esta figura se calcula mediante la fórmula matemática:
Área = lado x lado = l2
Área = lado x lado = l2
Área del rectángulo
El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90ª. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula matemática:
El rectángulo es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son de 90
grados cada uno. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula matemática:
Área =
base x altura
El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90ª. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula matemática:
2
El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro
ángulos son distintos de 90º. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula matemática:
Área = [(B + b).altura] 2
El romboide es un polígono de cuatro lados, pero sus ángulos opuestos son iguales. El área estará dada por la fórmula matemática:
El romboide es un polígono de cuatro lados, pero sus ángulos opuestos son iguales. El área estará dada por la fórmula matemática:
Área = base x altura
Veamos una animación
Veamos una animación
Suscribirse a:
Entradas (Atom)